Áreas de polígonos regulares e Teorema de Pitágoras 8º ano (resolução)

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Áreas de polígonos regulares

Polígonos regulares são figuras planas fechadas com todos os lados e ângulos congruentes (em geometria, congruente significa igual).

Exemplos de polígonos regulares são, o triângulo equilátero (triângulo com todos os lados iguais), o quadrado, o pentágono regular, etc…

🟢 Na figura acima temos um quadrado, um pentágono regular e um hexágono regular, com a representação do respetivo apótema (pode parecer estranho, mas apótema é masculino porque se trata de um segmento de reta, diz-se “o apótema” e não “a apótema”)

Apótema é um segmento de reta que vai do centro do polígono até ao ponto médio de qualquer um dos lados, sendo perpendicular a esse lado.

Um segmento de reta que vai desde o centro de um polígono regular até um dos vértices, não é um apótema.

Para determinar a área de um polígono regular, usamos a seguinte fórmula:

$Área_{polígono\ regular}=\frac{P}{2}\times ap$

Em que:

P = perímetro do polígono (soma da medida de todos os lados);
ap = apótema.

Teorema de Pitágoras

Num triângulo retângulo, a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

a é a hipotenusa (sempre oposta ao ângulo reto e o maior lado de qualquer triângulo retângulo;
b e c são os catetos.

De acordo com o Teorema de Pitágoras:

$b^2+c^2=a^2$

🟢 Neste primeiro exercício, o objetivo é determinar a medida de cada um dos lados de um pentágono regular.

Como fazemos?

Utilizamos a fórmula da área do polígono regular e substituímos o que temos, para determinar o que nos falta (se precisares, revê a matéria de equações literais).

$Área_{polígono\ regular}=\frac{P}{2}\times ap$

Substituindo e resolvendo em ordem a P:

$500=\frac{P}{2}\times 10 ⟺ \frac{500\times 2}{10}=P⟺$ (para isolar o P, passámos todos os números para o primeiro membro: o 2 que estava a dividir passou a multiplicar e o 10, que estava a multiplicar, passou a dividir);

$⟺ P= \frac{500\times 2}{10}⟺ P=100 cm$ (para passar o P para o primeiro membro da equação, foi só trocar os membros, porque se A=B, B=A).

100 cm não é a resposta final, pois trata-se do perímetro do pentágono e não da medida de um dos lados.

🟢 Como um pentágono regular tem 5 lados iguais, para saber a medida de cada lado, temos que dividir o perímetro por 5:

$100:5=20 cm$

(Primeira opção).

🚨Erro comum:

O segmento de reta representado na figura não é o apótema!

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