Ficha interativa de áreas e volumes 8º ano (resolução)

O objetivo é determinar o volume da pirâmide da figura sabendo a sua altura e que a base é um hexágono regular com 10 cm de lado.

Para reveres Teorema de Pitágoras e áreas de polígonos regulares, clica aqui.

🟢 A fórmula do volume de qualquer pirâmide e também do cone (que acaba por ser uma espécie de pirâmide circular) é:

$V_{Pirâmide}= \Large \frac{Ab}{3}\times a$

Em que:

• Ab = área da base;
• a = altura.

1º passo – determinar a área da base:

A base desta pirâmide é um hexágono regular. Por isso, trata-se de uma pirâmide hexagonal.

Um hexágono regular é um polígono com 6 lados iguais e 6 ângulos internos iguais.

A fórmula da área de um polígono regular é:

$Área_{polígono\ regular}=\frac{P}{2}\times ap$

Em que:

• P = perímetro do polígono (soma da medida de todos os lados);
• ap = apótema (segmento de reta que vai do centro do polígono até ao ponto médio de qualquer um dos lados):

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📝 Toma nota

O hexágono regular tem uma particularidade muito interessante. Pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros (triângulo com todos os lados iguais).

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No caso deste exercício, o hexágono pode ser dividido em 6 trângulos iguais aos da figura seguinte:

O apótema do hexágono, corresponde à altura deste triângulo (representada a tracejado na figura seguinte).

Aplicando o Teorema de Pitágoras:

$x^2=10^2-5^2⟺ x^2=100-25⟺ x^2=75⟺ x=\sqrt{75}⟺ x≈ 8,66\ cm$

Agora determinamos a área:

$Área_{hexágono\ regular}=\frac{P}{2}\times ap⟺$

$⟺ Área_{polígono\ regular}=\frac{10\times 6}{2}\times 8,66⟺$

$⟺ Área_{polígono\ regular}=259,8\ cm²$

2º passo – determinar o volume da pirâmide:

$V_{Pirâmide}= \Large \frac{Ab}{3}\times a$

$V_{Pirâmide}= \Large \frac{259,8}{3}\times 20 ⟺$

$⟺ V_{Pirâmide}= \Large \frac{259,8}{3}\times 20 ⟺$

$⟺ V_{Pirâmide}= 1732\ cm^3$

Segunda opção.

🟢 Para determinar o espaço caixa que não está ocupado pelas bolas (espaço vazio dentro da caixa), temos que determinar o volume da caixa, o volume total das 3 bolas e depois, subtrair os dois.

Este é um raciocínio que tens que utilizar muitas vezes em matemática. Para saberes uma parte, fazes o todo menos a(s) outra(as) partes.

1º passo – determinar o volume da caixa cilíndrica: